Question

已知f（x）是函数，
（1）若f（

x

+1）=x+2

x

，求f（x）．
（2）若函数f（x）满足2f（x）+f（

1

x

）=x，求f（x）．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：换元法,函数的性质及应用

分析：（1）用换元法，设

x

+1=t，求出

x

，表示出f（t），即得f（x）；
（2）由2f（x）+f（

1

x

）=x①，得2f（

1

x

）+f（x）=

1

x

②；由①、②求出f（x）的解析式．

解答： 解：（1）设

x

+1=t，∴

x

=t-1（t≥1）；
又∵f（

x

+1）=x+2

x

，
∴f（t）=（t-1）²+2（t-1）=t²-1，
即f（x）=x²-1（x≥1）；
（2）∵2f（x）+f（

1

x

）=x①，
∴2f（

1

x

）+f（x）=

1

x

②；
①×2-②得，
3f（x）=2x-

1

x

；
∴f（x）=

2x

3

-

1

3x

．

点评：本题考查了用换元法求函数解析式的问题，解题时应根据题意，设出适当地“元”，从而求出函数的解析式，是基础题．