Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30，斜边AC上的中线BD=2，现沿BD将△BCD折起成三棱锥C-ABD，已知G是线段BD的中点，E，F分别是CG，AG的中点．

（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）三棱锥C-ABD中，若棱AC=

10

，求三棱锥A一BCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用三角形的中位线，可得EF∥AC，再由线面平行的判定定理证明EF∥平面ABC；
（2）由余弦定理计算AG，再利用勾股定理，可得CG⊥AG，从而CG⊥平面ABD，即可求三棱锥A一BCD的体积．

解答： （1）证明：∵EF是△AGC的中位线，
∴EF∥AC…（3分）
又AC?平面ABC，EF?平面ABC
∴EF∥平面ABC      …（6分）
（2）解：在△ADG中，∠ADB=120°，AD=2，DG=1，
由余弦定理得：AG²=2²+1²-2×2×1cos120°=7，…（8分）
而CG²=3，AC²=10，
∴AC²=AG²+CG²
即CG⊥AG，
又CG⊥BD，∴CG⊥平面ABD…（10分）
∴VABCD=

1

3

•S△ABD•CG=

1

3

×

1

2

×2×2sin120°×

3

=1…（12分）

点评：本题考查了线面平行的判定，考查了三棱锥的体积计算，考查了学生的空间想象能力与运算能力．