Question

已知函数f（x）=ksin（ωx+φ），（k＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的一系列对应值如下表：

x	- π 6	π 3	5π 6	4π 3	11π 6	7π 3	17π 6
y	-2	0	2	0	-2	0	2

（1）根据表格提供的数据求函数f（x）的解析式；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据（1）的结果，若f（

A

2

）=-1，且a=2，求b+c的取值范围．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，把特殊点的坐标代入函数的解析式求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由f（

A

2

）=-1，求得A=

π

3

．再由a=2，利用正弦定理可得 b=

4 3

3

sinB，c=

4 3

3

sinC，再根据b+c=

4 3

3

（sinB+sinC）=4cos（B-

π

3

）．再结合B∈（0，

2π

3

），利用余弦函数的定义域和值域求得b+c的范围．

解答： 解：（1）由条件可得k=2，再根据周期为T=

2π

ω

=

11π

6

+

π

6

=2π，∴ω=1．
再把点（-

π

6

，-2）代入函数的解析式可得 2sin（-

π

6

+φ）=-2，
令-

π

6

+φ=2kπ-

π

2

，k∈z，可得 φ=2kπ-

π

3

，结合，|φ|＜

π

2

，可得φ=-

π

3

，
∴f（x）=2sin（x-

π

3

）．
（2）∵f（

A

2

）=2sin（

A

2

-

π

3

）=-1，∴sin（

A

2

-

π

3

）=-

1

2

，结合A∈（0，π），可得A=

π

3

．
再由a=2，利用正弦定理可得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，即

2

3 2

=

b

sinB

=

c

sinC

，
可得 b=

4 3

3

sinB，c=

4 3

3

sinC，∴b+c=

4 3

3

（sinB+sinC）=

4 3

3

（sinB+sin（

2π

3

-B）），
=

4 3

3

•2sin

π

3

cos（B-

π

3

）=4cos（B-

π

3

）．
∵B∈（0，

2π

3

），∴B-

π

3

∈（-

π

3

，

π

3

），∴cos（B-

π

3

）∈（

1

2

，1]，
∴4cos（B-

π

3

）∈（2，4]，即b+c∈（2，4]．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，两角和的正弦公式、正弦定理、余弦函数的定义域和值域，属于中档题．