Question

已知函数f（x）=x³-（a+）x²+x（a∈R，a≠0）．
（1）若a＞0，则a为何值时，f（x）在点（1，f（1））处切线斜率最大？并求该切线方程；
（2）当a=2时，函数f（x）在区间（k-，k+）内不是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）若f（x）的图象不经过第四象限，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）求导函数，可得
∵a＞0，∴
∴，当且仅当a=1时，等号成立
即当a=1时，f（x）在点（1，f（1））处切线斜率最大，该切线方程为y=；
（2）当a=2时，f（x）=x³-x²+x

令f′（x）＞0，可得或x＞2，此时函数单调递增；
令f′（x）＜0，可得，此时函数单调递减；
要使函数f（x）在区间（k-，k+）内不是单调函数，则
或
∴或
（3）f（x）的图象不经过第四象限，即f（x）≥0在x∈[0，+∞）恒成立．
令f′（x）=0得x₁=a，x₂=．
①当a＜0时，f（x）在[0，+∞）单调递增，符合题意；
②当a＞0时，∵x∈[0，+∞），
∴f（x）_min=min{f（0），f（a），f（）}，
∵f（0）=0，∴
得≤a≤，
综上所得，a的取值范围是a＜0或≤a≤．（13分）
分析：（1）求导函数，可得，利用基本不等式，可知a=1时，f（x）在点（1，f（1））处切线斜率最大，从而可求切线方程；
（2）当a=2时，f（x）=x³-x²+x，求导函数，从而可知或x＞2时，函数单调递增，时函数单调递减，要使函数f（x）在区间（k-，k+）内不是单调函数，则或，从而可求实数k的取值范围；
（3）f（x）的图象不经过第四象限，即f（x）≥0在x∈[0，+∞）恒成立．分类讨论：①当a＜0时，f（x）在[0，+∞）单调递增，符合题意；②当a＞0时，f（x）_min=min{f（0），f（a），f（）}≥0即可，从而可求a的取值范围．
点评：本题重点考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查函数的最值，同时考查学生分析解决问题的能力，综合性强．