Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=1，且S_n=ta_n-$\frac{1}{2}$，其中n∈N*．
（1）求实数t的值和数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₃a_2n，求数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由当n=1时，a₁=S₁=ta₁-$\frac{1}{2}$，由a₁=1，即1=t-$\frac{1}{2}$，即可求得t的值，S_n=$\frac{3}{2}$•a_n-$\frac{1}{2}$，当n≥2时，S_n-1=$\frac{3}{2}$•a_n-1-$\frac{1}{2}$，a_n=S_n-S_n-1，整理得：a_n=3a_n-1，数列{a_n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可知：b_n=log₃a_2n=log₃3^2n-1=2n-1，$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），利用“裂项法”即可求得数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=ta₁-$\frac{1}{2}$，由a₁=1，即1=t-$\frac{1}{2}$，
解得：t=$\frac{3}{2}$，
∴S_n=$\frac{3}{2}$•a_n-$\frac{1}{2}$，
当n≥2时，S_n-1=$\frac{3}{2}$•a_n-1-$\frac{1}{2}$，
∴a_n=S_n-S_n-1=（$\frac{3}{2}$•a_n-$\frac{1}{2}$）-（$\frac{3}{2}$•a_n-1-$\frac{1}{2}$），即a_n=3a_n-1，
∴数列{a_n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，
∴a_n=a₁•q^n-1=3^n-1，
当n=1时，a_n=3^n-1，成立，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=3^n-1；
（2）由（1）可知：b_n=log₃a_2n=log₃3^2n-1=2n-1，
$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和T_n，T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{n}{2n+1}$，
数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和T_n=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查等比数列通项公式，考查“裂项法”求数列的前n项和，考查对数的运算性质，考查计算能力，属于中档题．