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已知函数f(x)=x|x2-3|,x∈[0,m],其中m∈R,且m>0
(1)若m<1,求证:函数f(x)是增函数;
(2)如果函数f(x)的值域是[0,2],试求m的取值范围.
(3)如果函数f(x)的值域是[0,λm2],试求实数λ的最小值.
分析:(1)根据m的范围可确定x的范围,从而可以去掉函数内的绝对值符号,然后利用导数可证明增函数.
(2)先构造一个函数g(x),即没有参数m限制的函数f(x),分段取绝对值符号变成分段函数,然后分别在各段内用导数判断导数的单调性,从而确定g(x)最值,从中确定满足条件的参数m的取值范围.
(3)根据第(2)问得出的参数m的取值范围,确定参数m的讨论点,通过各段内的最大值等于λm2 得出实数λ的取值范围,通过λ在各段的取值范围确定最小值.
解答:解:(1)∵m<1,且x∈[0,m]
∴0≤x<1,∴0≤x2<1,∴x2-3<0
此时,f(x)=-x(x2-3)=-x3+3x
∵f′(x)=-3x2+3
∵0≤x2<1
∴-3<-3x2≤0
∴f′(x)=-3x2+3>0
故此时,函数f(x)是增函数
(2)令g(x)=x|x2-3|,x≥0
g(x)=
3x-x3 ,0≤x≤
3
x3-3x  ,x>
3

0<x<
3
时,g′(x)=3-3x2=0 得x=1
所以g(x)在[0,1]上是增函数,在[1,
3
]上是减函数
当x
3
时,由g′(x)=3x2-3>0,所以g(x)在[
3
,+∞)上是增函数
所以当x∈[0,
3
]
时,函数g(x)的最大值是g(1)=2,最小值是g(0)=g(
3
)=0
从而0<m<1均不符合题意,1≤m≤
3
均符合题意
当m
3
,在x∈[0,
3
)
时,f(x)∈[0,2];x∈[
3
,m]
时,f(x)∈[0,f(m)]
这时f(x)的值域是[0,2]的充要条件是f(m)≤2
即m3-3m≤2,(m-2)(m+1)2≤0,解得:
3
<m≤2

综上所述,m的取值范围是[1,2]
(3)据(2)知,当0<m<1时,函数f(x)的最大值是f(m)=3m-m3
由题意可知,3m-m3=λm2,即λ=
3
m
-m
,是减函数,故λ的取值范围是(2,+∞)
当1≤m≤2时,函数f(x)的最大值是f(1)=2
由题意可知,2=λm2,即λ=
2
m2
,是减函数,故λ的取值范围是[
1
2
,2]

当m>2时,函数f(x)的最大值是f(m)=m3-3m
由题意可知,m3-3m=λm2,即λ=m-
3
m
,是增函数,故λ的取值范围是(
1
2
,+∞)

综上所述,λ的最小值是
1
2
,且此时m=2
点评:本题主要考查利用导数判断函数单调性,难点在对参数m的讨论点怎么确定,特别是第三问又出现了另外一个参数λ,使问题更加复杂.
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•深圳一模)已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•上海模拟)已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:上海模拟 题型:解答题

已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
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-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:深圳一模 题型:解答题

已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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