Question

已知函数（）．

(1)求的单调区间；

⑵如果是曲线上的任意一点，若以为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；

⑶讨论关于的方程的实根情况．

 

Answer 1

【答案】

(1)单调增区间是，单调减区间是；(2)；(3)见解析.

【解析】

试题分析：(1)先由对数函数的定义求出函数的定义域，然后求出函数的导数，结合函数的单调性与导数的关系求解；(2)先写出切点处的切线的斜率，然后根据已知条件得到，则有，结合二次函数在区间上的图像与性质，可得的最小值；(3)根据已知条件构造函数，将方程的实根的情况转化为函数的零点问题.由函数单调性与导数的关系可知，在区间上单调递增，在区间上单调递减，即最大值是，分三种情况进行讨论：当，函数的图象与轴恰有两个交点；当时，函数的图象与轴恰有一个交点；当时，函数的图象与轴无交点.由方程的根与函数零点的关系得解.

试题解析：(1)，定义域为，

则，

∵，

由得，；由得，.

∴函数的单调增区间是，单调减区间是.                  2分

(2)由题意，以为切点的切线的斜率满足：

，

所以对恒成立．

又当时，，

所以的最小值为.                                 7分．

(3)由题意，方程化简得：

.

令，则．

当时，；当时，.

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．

所以在处取得极大值即最大值，最大值为．

所以当，即时，的图象与轴恰有两个交点，

方程有两个实根；

当时，的图象与轴恰有一个交点，

方程有一个实根；

当时，的图象与轴无交点，

方程无实根.                      12分

考点：1.对数函数的定义；2.利用导数研究函数的单调性；3.利用导数研究切线斜率；4.二次函数的图像与性质；5.方程的根与函数的零点