Question

（2008•浦东新区一模）已知函数f(x)=

x2+1

-ax，其中a＞0．
（1）若2f（1）=f（-1），求a的值；
（2）当a≥1时，判断函数f（x）在区间[0，+∞）上的单调性；
（3）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据2f（1）=f（-1）建立等式关系，解之即可求出a的值；
（2）若a≥1，任取0≤x₁＜x₂，然后通过化简变形判定f（x₁）-f（x₂）与0的大小，从而确定函数f（x）在[0，+∞）上的单调性；
（3）根据函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数则任取1≤x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）＜0，从而求出a的范围．

解答：解：（1）由2f（1）=f（-1），可得：2

2

-2a=

2

+a3a=

2

，a=

2

3

…（4分）
（2）若a≥1，任取0≤x₁＜x₂f(x1)-f(x2)=

x12+1

-ax1-

x 2 2 +1

+ax2=

x12+1

-

x 2 2 +1

-a(x1-x2)
=

x 2 1 - x 2 2

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

-a(x1-x2)=(x1-x2)(

x1+x2

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

-a)…（6分）
因为0≤x1＜

x 2 1 +1

，0＜x2＜

x 2 2 +1

，所以0＜

x1+x2

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

＜1…（8分）
因为a≥1，则f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x）在[0，+∞）单调递减     …（10分）
（3）任取1≤x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=(x1-x2)(

x1+x2

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

-a)，因为f（x）单调递增，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，又x₁-x₂＜0，那么

x1+x2

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

-a＞0恒成立 （12分）

2

2

＜

x1+x2

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

＜1，…（14分）   所以0＜a≤

2

2

…（16分）

点评：本题主要考查了函数求值以及函数单调性的判定和利用单调性求参数范围等问题，属于中档题．