Question

2．（1）若将函数f（x）=x⁵表示为f（x）=a₀+a₁（1+x）+a₂（1+x）²+…+a₅（1+x）⁵，求a₃．
（2）三件产品中含有两件正品a，b和一件次品c，每次任取一件，按以下方式连取两次，分别求恰有一件次品的概率．①取后不放回；  ②取后放回．

Answer 1

分析 （1）由条件利用二项展开式的通项公式，求得a₃ 的值．
（2）①取后不放回，两次抽取时，根据等可能事件的概率公式求得恰有一件次品的概率；②取后放回时，利用n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算公式求得恰有一件次品的概率．

解答 解：（1）将函数f（x）=x⁵表示为f（x）=[-1+（x+1）]⁵=a₀+a₁（1+x）+a₂（1+x）²+…+a₅（1+x）⁵，
求得 a₃=${C}_{5}^{3}$•（-1）²=10．
（2）①取后不放回，两次抽取时，恰有一件次品的概率为$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{1}^{1}}{{C}_{3}^{2}}$=$\frac{2}{3}$；
②取后放回时，恰有一件次品的概率为${C}_{2}^{1}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{9}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式；n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，属于基础题．