Question

11．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+1-2sin²x，x∈R，将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，把所得到的图象再向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求：
（I）函数g（x）的解析式和单调递增区间；
（Ⅱ）函数g（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，-$\frac{π}{24}$]上的最值．

Answer 1

分析 （I）由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），再由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x+$\frac{5π}{6}$），解不等式2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{5π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得函数g（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）由x∈[-$\frac{π}{6}$，-$\frac{π}{24}$]，结合三角函数的性质可得最值．

解答 解：（I）由三角函数公式化简可得f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+1-2sin²x
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由函数图象变换可得g（x）=2sin[4（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$）]=2sin（4x+$\frac{5π}{6}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{5π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$
∴函数g（x）的单调递增区间为[$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{3}$，$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$]（k∈Z）；
（Ⅱ）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，-$\frac{π}{24}$]，∴4x+$\frac{5π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（4x+$\frac{5π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，∴2sin（4x+$\frac{5π}{6}$）∈[1，2]，
∴函数g（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，-$\frac{π}{24}$]上的最大值为2，最小值为1．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及函数图象的变换和三角函数的单调性和最值，属中档题．