Question

19．关于下列命题：
①设直线2x+3y+1=0和圆x²+y²-2x-3=0相交于A，B，则弦AB的垂直平分线方程是3x-2y-3=0．
②若数列{a_n}的前n项和S_n=（n+1）²，则{a_n}是等差数列；
③a，b，c是空间三条不同的直线，c是直线a在平面α内的射影，且b?a，a?α，若b⊥c则a⊥b；
④已知向量$\overrightarrow{a}=（t，2），\overrightarrow{b}$=（-3，6），若向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为锐角，则实数t的取值范围是t＜4；
⑤若定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x+1）-f（x），函数f（x）为奇函数，且f（1）=0，则在区间[-5，5]上f（x）至少有11个零点．
其中正确命题的序号是①③⑤（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 ①圆x²+y²-2x-3=0即（x-1）²+y²=4，则弦AB的垂直平分线斜率为$\frac{3}{2}$，并且经过圆心（1，0），利用点斜式可得方程，即可判断出真假．
②由S_n=（n+1）²，则a₁=S₁=4；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，当n=1时不成立，即可判断出真假；
③根据三垂线定理可得a⊥b，即可判断出真假；
④若向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为锐角，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＞0，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不能够同向共线，解出即可判断出真假；
⑤由函数f（x）为奇函数，且f（1）=0，可得f（0）=0，f（2）=f（1）-f（0）=0，同理可得f（3）=f（4）=f（5）=0，f（-1）=-f（1）=0，同理可得f（-2）=f（-3）=f（-4）=f（-5）=0，即可得出在区间[-5，5]上f（x）零点的个数．

解答 解：①设直线2x+3y+1=0和圆x²+y²-2x-3=0即（x-1）²+y²=4相交于A，B，
则弦AB的垂直平分线斜率为$\frac{3}{2}$，并且经过圆心（1，0），可得方程为：3x-2y-3=0，因此正确．
②若数列{a_n}的前n项和S_n=（n+1）²，则a₁=S₁=4；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，当n=1时不成立，因此{a_n}不是等差数列，因此不正确；
③a，b，c是空间三条不同的直线，c是直线a在平面α内的射影，且b?a，a?α，若b⊥c，根据三垂线定理可得a⊥b，正确；
④已知向量$\overrightarrow{a}=（t，2），\overrightarrow{b}$=（-3，6），若向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为锐角，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＞0，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不能够同向共线，由-3t+12＞0，解得t＜4，当t=-1时，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$同向共线，
∴则实数t的取值范围是t＜4且t≠-1；
⑤若定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x+1）-f（x），
∵函数f（x）为奇函数，且f（1）=0，
∴f（0）=0，f（2）=f（1）-f（0）=0，
同理可得f（3）=f（4）=f（5）=0，f（-1）=-f（1）=0，
同理可得f（-2）=f（-3）=f（-4）=f（-5）=0，因此在区间[-5，5]上f（x）至少有11个零点，正确．
其中正确命题的序号是 ①③⑤．
故答案为：①③⑤．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、直线与圆的位置关系、递推关系与等差数列的通项公式、三垂线定理、向量共线定理、抽象函数的奇偶性、向量的数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．