Question

17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x≤0}\\{f（x-1）+1，x＞0}\end{array}\right.$，当x∈[0，10]时，关于x的方程f（x）=x-$\frac{1}{5}$的所有解的和为（　　）

• A． 55
• B． 100
• C． 110
• D． 120

Answer 1

分析 根据函数的解析式分别求出各段上方程的根的和，找出规律作和即可．

解答 解：x∈[0，1）时，f（x）=（x-1）²+2（x-1）+1=x²，
令f（x）=x-$\frac{1}{5}$，得：x²-x+$\frac{1}{5}$=0，
∴x₁+x₂=1；
x∈[1，2）时，f（x）=（x-1）²+1=x²-2x+2，
令f（x）=x-$\frac{1}{5}$，得：x²-3x+$\frac{9}{5}$；
∴x₃+x₄=3，
x∈[3，4）时，f（x）=（x-2）²+2=x²-4x+6，
令f（x）=x-$\frac{1}{5}$，得：x₅+x₆=5，
…，
x∈[n，n+1）时，f（x）=（x-n）²+n，
令f（x）=x-$\frac{1}{5}$，得：x_2n+1+x_2n+2=2n+1，
x∈[9，10]时，f（x）=（x-9）²+9，
令f（x）=x-$\frac{1}{5}$，得：x₁₉+x₂₀=19，
∴1+3+5+…+19=100，
故选：B

点评 本题考查了分段函数问题，考查了分类讨论以及二次函数的性质，难度中档．