Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2） 若函数有两个零点， ，且，证明： .

Answer 1

【答案】（1）当时，知在上递减；当时， 在上递减，在上递增；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：

（1）由函数的解析式了的， ，分类讨论有：当时，知在上递减；当时， 在上递减，在上递增；

（2）由（1）知， ， ，且，故， ，原问题等价于，结合单调性转化为即可，而， ，构造函数，令， ，结合导函数的性质可得，即，则结论得证.

试题解析：

（1）， ，

当时， ，知在上是递减的；

当时， ，知在上是递减的，在上递增的.

（2）由（1）知， ， ，

依题意，即，

由得， ， ， ，

由及得， ，即，

欲证，只要，

注意到在上是递减的，且，

只要证明即可，

由得，

所以

， ，

令， ，

则，知在上是递增的，于是，即，

综上， .