Question

【题目】已知椭圆的两个焦点分别为和 ，过点的直线与椭圆相交于两点，且,。

（1）求椭圆的离心率；

（2）设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点在 的外接圆上，求的值

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）由且，得，从而，由此可以求出椭圆的离心率；（2）当时,得， , 线段的垂直平分线的方程为直线与轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为，设直线的方程为，由 ，可以推导出的值.

试题解析：（1）解：由// 且，得，从而

整理，得，故离心率

(2)解法一：由（II）可知

当时，得，由已知得.

线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴

的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.

直线的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组

， 由解得故

当时，同理可得.

解法二：由（II）可知

当时，得,由已知得

由椭圆的对称性可知B， ，C三点共线，因为点H（m，n）在的外接圆上，

且，所以四边形为等腰梯形.

由直线的方程为,知点H的坐标为.

因为，所以，解得m=c（舍），或.

则，所以.

当时同理可得.

【 方法点睛】本题主要考查椭圆性质与离心率以及圆的方程与性质，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．