Question

【题目】已知椭圆的左焦点为，左顶点为，离心率为，点 满足条件.

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于两点，记和的面积分别为，证明： .

Answer 1

【答案】(1) ;(2)见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出， 利用求的值；
（Ⅱ）方法一：分类讨论，设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理证明，求出面积，即可得出结论；

方法二：依题意可设直线的方程为： ，代入椭圆方程，利用韦达定理证明，求出面积，即可得出结论；

试题解析：（Ⅰ）椭圆的标准方程为：

∴，

则，

∵，解得

（Ⅱ）方法一：

①若直线的斜率不存在，则， ，符合题意

②若直线的斜率存在，因为左焦点，则可设直线的方程为： ，

并设.

联立方程组，消去得：

∴,

∵

∴

∵，

∴

方法二：依题意可设直线的方程为： ，并设.—5分

联立方程组，消去，得

∴,

∵

∴

∵，

∴