Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数的零点至少有两个，求实数的最小值.

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间为， ，单调递减区间为.（2）3

【解析】（1）第（1）问，直接利用导数求函数的单调区间.(2)第（2）问， 至少有两个根，再构造函数，利用导数求出函数的单调区间，作出函数的图像，数形结合得到实数a的最小值.

试题解析：

（1）当时， ，所以有，

令

所以当或时， ， 单调递增；

当时， ， 单调递减.

故的单调递增区间为， ，单调递减区间为.

（2）令，其在区间内至少有两个根，则

至少有两个根，

记，

所以，

记，

所以，

令（舍）

所以当时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增，

所以的最小值为，

又，所以时， ，

又当时， ，

因此必存在唯一的，使得，

因此时， ， 单调递增， ， ， 单调递减，

时， ， 单调递增，画出的大致图象，如图所示，

因此函数的极小值为，极大值为，

又由于，

因此当时，或时，数形结合易知函数有2个零点，

当时，函数有3个零点.

综合得函数的零点至少有两个时，实数的最小值为3.