Question

【题目】已知椭圆的离心率为，倾斜角为的直线经过椭圆的右焦点且与圆相切.

(1)求椭圆 的方程；

(2)若直线与圆相切于点，且交椭圆于两点，射线于椭圆交于点，设的面积于的面积分别为.

①求的最大值；

②当取得最大值时，求的值.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）.

【解析】试题分析：（1）根据离心率为、圆心到直线距离等于半径，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 、，即可得椭圆 的方程；(2) 直线与圆相切得： ，将直线代入椭圆的方程得： ①根据点到直线距离公式、弦长公式结合韦达定理及三角形面积公式可得，利用基本不等式可得结果；②当取得最大值时， ， .

试题解析：(1)依题直线的斜率.设直线的方程为,

依题有：

(2)由直线与圆相切得： .

设.将直线代入椭圆的方程得：

,且.

设点到直线的距离为,故的面积为：

,

当.等号成立.故的最大值为1.

设，由直线与圆相切于点，可得，

.

.,

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.