Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数．

（1）若函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；

（2）已知函数，且，若函数在区间上恰有3个零点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）根据题意，由函数的解析式计算可得，由函数的导数与函数单调性的关系，分函数在区间上是为单调增函数和单调减函数两种情况讨论，分别求出的取值范围，综合即可得答案；（2）根据题意，对求导分析可得，由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，则在区间内不单调， 在区间内存在零点，同理， 在区间内存在零点，由（1）的结论，只需在区间内两个零点即可，利用导数研究函数的单调性，从而可得实数的取值范围.

试题解析：（1）由题意得，当函数在区间上单调递增时， 在区间上恒成立.

∴（其中），解得；

当函数在区间上单调递减时， 在区间上恒成立，

∴（其中），解得．

综上所述，实数的取值范围是．

（2）．

由，知在区间内恰有一个零点，

设该零点为，则在区间内不单调.

∴在区间内存在零点，同理， 在区间内存在零点.

∴在区间内恰有两个零点．

由（1）知，当时， 在区间上单调递增，故在区间内至多有一个零点，不合题意．当时， 在区间上单调递减，故在区间内至多有一个零点，不合题意，

∴．令，得，

∴函数在区间上单调递减，在区间内单调递增．

记的两个零点为， ,

∴， ，必有， ．

由，得.

∴，

又∵， ，

∴．

综上所述，实数的取值范围为．