Question

【题目】已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴的正半轴上，过焦点作斜率为的直线交抛物线于两点，且，其中为坐标原点.

（1）求抛物线的方程；

（2）设点，直线分别交准线于点，问：在轴的正半轴上是否存在定点，使，若存在，求出定点的坐标，若不存在，试说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 在轴的正半轴上存在定点，使，且定点的坐标为

【解析】试题分析：（1）设抛物线的标准方程为，直线的方程为（，且），联立，消去，得.巧用韦达定理表示，从而得到抛物线的方程；

（2）假设在轴上存在定点，使， 设，由（1），知.明确，由，得，从而得到出定点的坐标.

试题解析：

（1）由题意知，

设抛物线的标准方程为，直线的方程为（，且），

联立，消去，得.

设，

则.

所以，

解得.

所以抛物线的标准方程为.

（2）假设在轴上存在定点，使，

设，

由（1），知.

又，设直线的斜率分别为，

则， ，

则直线的方程为，

令，得，

同理，得.

故

.

由，得，

即，

故，

解得或 (负值舍去），

即在轴的正半轴上存在定点，使，且定点的坐标为.