Question

已知函数f（x）=x²-2ax-1在区间[0，2]上的最大值为g（a），最小值为h（a）．（a∈R）
（1）求g（a）和h（a）；
（2）作出g（a）和h（a）的图象，并分别指出g（a）的最小值和h（a）的最大值各为多少？

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x²-2ax-1=（x-a）²-（1+a²）及x∈[0，2]，要求函数的最值，需要分类讨论：①当a≤0时，②当0＜a≤1③当1＜a≤2④当a≥2分别进行求解
（2）根据分段函数的图象的画法及一次函数与二次的函数的图象即可

解答：解（1）f（x）=x²-2ax-1=（x-a）²-（1+a²）
∵x∈[0，2]
①当a≤0时，g（a）=f（2）=3-4a，h（a）=f（0）=-1
②当0＜a≤1时，g（a）=f（2）=3-4a，h（a）=f（a）=-（1+a²）
③当1＜a≤2时，g（a）=f（0）=-1，h（a）=f（a）=-（1+a²）
④当a≥2时，g（a）=f（0）=-1，h（a）=f（2）=3-4a
综上可得，g（a）=

3-4a，a≤1 -1，a＞1

h（a）=

-1，a≤0 -(1+a2)，0＜a＜2 3-4a，a≥2

（2）函数g（a）与h（a）的图象如图所示



由图象可知，y=g（a）的最小值为-1

由图象知，函数y=h（a）的最大值为-1

点评：本题主要考查二次函数在闭区间 上的最值的求解，解题中的分类讨论思想的应用的根据是比较对称轴与区间的位置关系．