Question

8．已知函数f（x）=$\sqrt{3}（{sin^2}x-{cos^2}x）+2sinxcosx$．
（1）求f（x）最小正周期；
（2）设$x∈[-\frac{π}{3}，\;\frac{π}{3}]$，求f（x）的值域和单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得f（x）最小正周期．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的值域，再利用正弦函数的单调性，求得f（x）的增区间．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\sqrt{3}（{sin^2}x-{cos^2}x）+2sinxcosx$=-$\sqrt{3}$cos2x+sin2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴f（x）最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（2）设$x∈[-\frac{π}{3}，\;\frac{π}{3}]$，则2x-$\frac{π}{3}$∈[-π，$\frac{π}{3}$]，∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
∴求f（x）的值域为[-2，$\sqrt{3}$]．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$]，故函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域、单调性，属于中档题．