Question

3．设集合A={x|x²+2x-3＞0}，B={x|x²-2ax-1≤0，a＞0}，若A∩B中恰有一个整数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{3}{4}$）
• B． [$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{3}$）
• C． $[\frac{3}{4}，+∞）$
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 先化简A，B，求集合A∩B，利用A∩B中恰含有一个整数，即可求实数a的取值范围．

解答 解：由A中不等式变形得：（x-1）（x+3）＞0，
解得：x＜-3或x＞1，即A={x|x＜-3或x＞1}，
函数y=f（x）=x²-2ax-1的对称轴为x=a＞0，f（-3）=6a+8＞0，
如图示：

由对称性可得，要使A∩B恰有一个整数，
即这个整数解为2，
∴f（2）≤0且f（3）＞0，
即 $\left\{\begin{array}{l}{4-4a-1≤0}\\{9-6a-1＞0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a≥\frac{3}{4}}\\{a＜\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
即$\frac{3}{4}$≤a＜$\frac{4}{3}$，
故选：B．

点评 本题主要考查集合关系的应用，利用不等式和函数之间的关系，将不等式转化为函数，利用函数根的分布确定函数满足的条件是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．