Question

【题目】已知椭圆的离心率，左、右焦点分别是、，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设为椭圆上不在轴上的一个动点，过点作的平行线交椭圆与、两个不同的点，记，，令，求的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

（1）由圆心到切线的距离求出，再由离心率可求得，从而得椭圆方程；

（2）设，，，，由平行线的等积转化，得，因此设直线方程为，代入椭圆方程整理后用韦达定理得，代入后利用基本不等式可得最大值．

解：（1）由题意可知：椭圆焦点在轴上，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，

所以，

又椭圆的离心率，解得：，

椭圆的方程为：；

（2）由（1）可知：椭圆的右焦点，，设，，，，

，

，

设直线，

，整理得：，

，，

，

，

由，

，

当且仅当时，即时，取等号，

的最大值为．