Question

在等比数列{a_n}中，其前n项和为S_n，已知a₃=

3

2

，S₃=

9

2

．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数n，使得S_n-S_n+2=

3

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？，并说明理由．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，由已知条件可解得q和首项，可得通项公式；
（Ⅱ）分类讨论，当q=1时不合题意，当a₁=6，q=-

1

2

时可得n的方程，解得n值，综合可得．

解答： 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，
则S₃=a₁+a₂+a₃=a₃（q^-2+q^-1+1）=

9

2

，
由a₃=

3

2

可得q^-2+q^-1+1=3，
整理可得2q²-q-1=0，解得q=1，或q=-

1

2

，
当q=1时，a_n=a₃=

3

2

，
当q=-

1

2

时，可得a₁=6，a_n=6×(-

1

2

)n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当q=1时，S_n=

3

2

n，S_n-S_n-2=3≠

3

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，
当a₁=6，q=-

1

2

时，S_n=

6[1-(- 1 2 )n]

1-(- 1 2 )

=4[1-(-

1

2

)n]，
由S_n-S_n-2=

3

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可得4[1-(-

1

2

)n]-4[1-(-

1

2

)n-2]=

3

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，
化简可得-3(-

1

2

)n=

3

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，即(-

1

2

)n=-

1

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，解得n=5
综上可得存在正整数n=5，使得S_n-S_n+2=

3

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点评：本题考查等比数列的性质，涉及分类讨论的思想，属中档题．