Question

在△ABC中，a，b，c是角A，B，C对应的边，向量

m

=（a+b，c），

n

=（a+b，-c），且

m

•

n

=（

3

+2）ab．
（1）求角C；
（2）函数f（x）=2sin（A+B）cos²（ωx）-cos（A+B）sin（2ωx）-

1

2

（ω＞0）的相邻两个极值的横坐标分别为x₀-

π

2

、x₀，求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用平面向量的坐标运算及余弦定理可求得角C；
（2）利用三角恒等变换可求得f（x）=sin（2ωx+

π

6

），由相邻两个极值的横坐标分别为x₀-

π

2

、x₀，可求得其周期，继而可得ω=1，从而可得函数解析式，利用正弦函数的单调性即可求得答案．

解答： 解：（1）∵

m

=（a+b，c），

n

=（a+b，-c），

m

•

n

=（

3

+2）ab，
∴a²+b²-c²=

3

ab，
∴cosC=

3

2

，又0＜C＜π，
∴C=

π

6

；
（2）f（x）=2sin（A+B）cos²ωx-cos（A+B）sin2ωx-

1

2

=2sinCcos²ωx+cosCsin2ωx-

1

2

=2sin

π

6

cos²ωx+cos

π

6

sin2ωx-

1

2

=

1+cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx-

1

2

=sin（2ωx+

π

6

），
∵相邻两个极值的横坐标分别为x₀-

π

2

、x₀，
∴f（x）的最小正周期T=π，即

2π

|2ω|

=π，ω=1，
∴f（x）=sin（2x+

π

6

），
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，得：kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z，
∴f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z．

点评：本题考查面向量的坐标运算及余弦定理，着重考查三角恒等变换的应用及正弦函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．