Question

如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC，点E在棱PB上，且PE＝2EB.

(1)求证：平面PAB⊥平面PCB；
(2)求证：PD∥平面EAC.

Answer 1

见解析

(1)∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC，
又AB⊥BC，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.(3分)
又BC?平面PCB，
∴平面PAB⊥平面PCB.(6分)
(2)∵PA⊥底面ABCD，又AD?平面ABCD，
∴PA⊥AD.
又∵PC⊥AD，又PC∩PA＝P，∴AD⊥平面PAC，又AC?平面PAC，
∴AC⊥AD.
在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB＝BC，得∠BAC＝，
∴∠DCA＝∠BAC＝又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形．(4分)
∴DC＝AC＝(AB)＝2AB.
连接BD，

交AC于点M，则＝2.
在△BPD中，＝2，
∴PD∥EM
又PD?平面EAC，EM?平面EAC，
∴PD∥平面EAC.(14分)