Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，，满足，计算S₁，S₂，S₃，S₄，并猜想S_n的表达式．

Answer 1

解：由题设得S_n²+2S_n+1-a_nS_n=0，当n≥2（n∈N^*）时，a_n=S_n-S_n-1，
代入上式，得S_n-1S_n+2S_n+1=0．（*）
S₁=a₁=-，
∵S_n+=a_n-2（n≥2，n∈N），令n=2可得
，S₂+=a₂-2=S₂-a₁-2，
∴=-2，
∴S₂=-．
同理可求得 S₃=-，S₄=-．
猜想S_n =-，n∈N₊，下边用数学归纳法证明：
①当n=1时，S₁=a₁=-，猜想成立．
②假设当n=k时猜想成立，即S_K=-，则当n=k+1时，∵S_n+=a_n-2，∴，
∴，∴=-2=，
∴S_K+1=-，∴当n=k+1时，猜想仍然成立．
综合①②可得，猜想对任意正整数都成立，即 S_n =-，n∈N₊成立．
分析：由题设可得 S_n-1S_n+2S_n+1=0，求得S₁，S₂，S₃ 的值，猜测S_n =-，n∈N₊；用数学归纳法证明，检验n=1时，猜想成立；假设S_K=-，则当n=k+1时，由条件可得，，解出 S_K+1=-，故n=k+1时，猜想仍然成立．
点评：本题考查归纳推理，用数学归纳法证明等式，证明当n=k+1时，S_n =-，n∈N₊，是解题的难点．