Question

【题目】已知为椭圆的左右焦点，点在椭圆上，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）过的直线分别交椭圆于和，且，问是否存在常数，使得等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)答案见解析.

【解析】试题分析：

（1）由已知可得，将 代入 可得；

（2）①当的斜率为零或斜率不存在时， =；

②当的斜率存在且时， 的方程为，

代入椭圆方程，并化简得．

设，应用韦达定理，弦长公式

由直线的斜率为，得到，计算得到=，求得.

试题解析：

（1）因为，所以

所以 ，将P代入可得

所以椭圆的方程为

（2）①当的斜率为零或斜率不存在时， =；

②当的斜率存在且时， 的方程为，

代入椭圆方程，并化简得．

设，则

因为直线的斜率为，

所以

=

综上，

所以，存在常数使得成等差数列.