Question

如图6，已知动圆M过定点F（1,0）且与x轴相切，点F 关于圆心M 的对称点为 F'，动点F’的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设是曲线C上的一个定点，过点A任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线C相交于另外两点P 、Q．
①证明：直线PQ的斜率为定值；
②记曲线C位于P 、Q两点之间的那一段为l．若点B在l上，且点B到直线PQ的
距离最大，求点B的坐标．

Answer 1

（1）；（2）见解析.

第一问中利用直线育园的位置关系可知得到曲线C的轨迹方程
第二问中，（法1）由题意，直线AP的斜率存在且不为零，如图6－2．
设直线AP的斜率为k（），则直线AQ的斜率为-k． ………………6分
因为是曲线C：上的点，
所以，直线AP的方程为．
由与联立，
解之得，
所以点P的坐标为(,)，
以-k替换k，得点Q的坐标为(,)
所以直线PQ的斜率为定值
再就是由①可知，，，
，所以直线QP的方程为，
整理得得到B的坐标。
解：（1）（法1）设，因为点在圆M上，
且点F关于圆心M的对称点为F’，
所以，              …………1分
且圆M的直径为．…………2分
由题意，动圆M与y轴相切，
所以，两边平方整理得：，
所以曲线C的方程为．            ………………………………5分
（法2）因为动圆M过定点且与x轴相切，所以动圆M在x轴上方，
连结FF’，因为点F关于圆心M的对称点为F’，所以FF’为圆M的直径．
过点M作轴，垂足为N，过点F’作轴，垂足为E（如图6－1）．
在直角梯形EOFF’中，，
即动点F’到定点的距离比到轴的距离大1．……………………………3分
又动点F’于轴的上方（包括轴上），
所以动点F’到定点的距离与到定直线y=-1的距离相等．
故动点F’的轨迹是以点为焦点，以直线y=1为准线的抛物线．
所以曲线C的方程为．            ……………………………5分

（2）①（法1）由题意，直线AP的斜率存在且不为零，如图6－2．
设直线AP的斜率为k（），则直线AQ的斜率为-k． ………………6分
因为是曲线C：上的点，
所以，直线AP的方程为．
由与联立，
解之得，
所以点P的坐标为(,)，
以-k替换k，得点Q的坐标为(,)，．      ………………8分
所以直线PQ的斜率为定值．………………10分
（法2）因为是曲线C：上的点，所以，
又点P、Q在曲线C：上，所以可设，，    …6分
而直线AP，AQ的倾斜角互补，
所以它们的斜率互为相反数，即，整理得．8分
所以直线pq的斜率为定值．  ………10分
②（法1）由①可知，，
，所以直线QP的方程为，
整理得．                  …………11分
设点在曲线段l上，因为P、Q两点的横坐标分别为和，
所以B点的横坐标X在和之间，
所以，从而．
点B到直线QP的距离d=．………12分
当时，d的最大值为．
注意到，所以点在曲线段L上．
所以，点B的坐标是．…………………………………………14分

（法2）由①可知，，结合图6－3可知，
若点B在曲线段L上，且点B到直线PQ的距离最大，
则曲线C在点B处的切线L//QP．  ………………11分
设L：，由方程组
与，联立可得
消去y，得．
令△=0，整理，得．……12分
代入方程组，解得，．
所以，点B的坐标是．……………………………………………14分
（法3）因为抛物线C：关于y轴对称，
由图6－4可知，当直线AP的倾斜角大于00且趋近于00时，直线AQ的倾斜角小于1800且趋近于1800，即当直线AP的斜率大于0且趋近于0时，直线AQ的斜率小于0且趋近于0．
从而P、Q两点趋近于点关于轴的对称点．……11分

由抛物线C的方程和①的结论，
得，．
所以抛物线C以点为切点的切线L//PQ．
……………………12分
所以曲线段L上到直线QP的距离最大的点就是点A’，
即点B、点A’重合．
所以，点B的坐标是．……………14分