Question

（2012•闵行区三模）某药厂在动物体内进行新药试验．已知每投放剂量为m的药剂后，经过x小时该药剂在动物体内释放的浓度y（毫克/升） 满足函数y=mf（x），其中f（x）=

- 1 2 x2+2x+5(0＜x≤4) -x-lgx+10(x＞4)

．当药剂在动物体内中释放的浓度不低于4（毫克/升）时，称为该药剂达到有效．
（1）若m=2，试问该药达到有效时，一共可持续多少小时（取整数小时）？
（2）为了使在8小时之内（从投放药剂算起包括8小时）持续有效，求应该投放的药剂量m的最小值（m取整数）．

Answer 1

分析：（1）由题设知m=2时，y=

-x2+4x+10，(0＜x≤4) -2x-2lgx+20，x＞4

，由此进行分类讨论，能求出该药剂达到有效时，一共可持续多少小时．
（2）由y=m•f（x）=

- m 2 (x-2)2+7m，0＜x≤4 -mx-mlgx+10m，x＞4

，进行分类讨论，能求出为了使在8小时之内达到有效，投放的药剂剂量m的最小值．

解答：解：（1）∵每投放剂量为m的药剂后，
经过x小时该药剂在动物体内释放的浓度y（毫克/升） 满足函数y=mf（x），
其中f（x）=

- 1 2 x2+2x+5(0＜x≤4) -x-lgx+10(x＞4)

，
∴m=2时，y=

-x2+4x+10，(0＜x≤4) -2x-2lgx+20，x＞4

，
当0＜x≤4时，10≤-x²+4x+10≤14，符合题意，（2分）
当x＞4时，通过计算器由-2x-2lgx+20≥4，解得：4＜x≤7，（4分）
综上0＜x≤7，所以该药剂达到有效时，一共可持续7小时．（6分）
（2）由y=m•f（x）=

- m 2 (x-2)2+7m，0＜x≤4 -mx-mlgx+10m，x＞4

，（8分）
知在区间（0，4]上，有5m≤y≤7m，
在区间（4，8]上单调递减，即-8m-mlg8+10m≤y＜-4m-mlg4+10m，（10分）
为使y≥4恒成立，只要5m≥4且-8m-mlg8+10m≥4，（12分）
即m≥

4

5

且m≥

4

2-3lg2

，求得：m≥4．
答：为了使在8小时之内达到有效，投放的药剂剂量m的最小值为4．（14分）

点评：本题考查函数在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，仔细分析数量间的相互关系，合理地进行等价转化．