Question

11．已知⊙O：x²+y²=2，⊙M：（x+2）²+（y+2）²=2，点P的坐标为（1，1）．
（1）过点O作⊙M的切线，求该切线的方程；
（2）若点Q是⊙O上一点，过Q作⊙M的切线，切点分别为E，F，且∠EQF=$\frac{π}{3}$，求Q点的坐标；
（3）过点P作两条相异直线分别与⊙O相交于A，B，且直线PA与直线PB的倾斜角互补，试判断直线OP与AB是否平行？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设切线方程为：y=kx，则$\frac{|-2k+2|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$$⇒k=2±\sqrt{3}$，即可求该切线的方程；
（2）题知，∠EQF=$\frac{π}{3}$，即QM=2ME，求出Q的轨迹方程，即可求Q点的坐标；
（3）求出A，B的坐标，利用斜率公式证明k_AB=k_OP⇒直线OP与AB平行．

解答 解：（1）设切线方程为：y=kx，则$\frac{|-2k+2|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$$⇒k=2±\sqrt{3}$
⇒切线方程为$y=（2+\sqrt{3}）x$或$y=（2-\sqrt{3}）x$；
（2）由题知，∠EQF=$\frac{π}{3}$，即QM=2ME，设Q（x，y），则Q的轨迹为：$\left\{\begin{array}{l}{（x+2）^2}+{（y+2）^2}=8\\{x^2}+{y^2}=2\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{3-\sqrt{15}}}{4}\\ y=\frac{{-1+\sqrt{15}}}{4}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{-1+\sqrt{15}}}{4}\\ y=\frac{{-1-\sqrt{15}}}{4}\end{array}\right.$
即$Q（\frac{{-1-\sqrt{15}}}{4}，\frac{{-1+\sqrt{15}}}{4}）或Q（\frac{{-1+\sqrt{15}}}{4}，\frac{{-1-\sqrt{15}}}{4}）$
（3）由题设l_PA：y-1=k（x-1）则l_PB：y-1=-k（x-1）
由$\left\{\begin{array}{l}y-1=k（x-1）\\{x^2}+{y^2}=2\end{array}\right.⇒（1+{k^2}）{x^2}+2k（1-k）x+{（1-k）^2}-2=0$$⇒{x_A}=\frac{{{k^2}-2k-1}}{{1+{k^2}}}$；
同理${x_B}=\frac{{{k^2}+2k-1}}{{1+{k^2}}}$$⇒{k_{AB}}=\frac{{{y_B}-{y_A}}}{{{x_B}-{x_A}}}=\frac{{-k（{x_A}+{x_B}）+2k}}{{{x_B}-{x_A}}}=1$
又k_OP=1⇒k_AB=k_OP⇒直线OP与AB平行．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与圆位置关系的运用，考查斜率的计算，属于中档题．