Question

2．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠DAB=60°，点M在线段DC上，且满足$\overrightarrow{DM}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{DC}$，若N是平行四边形ABCD内的任意一点（含边界），则$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$的取值范围是[0，13]．

Answer 1

分析 如图所示，建立直角坐标系．利用向量数量积运算、线性规划的有关知识即可得出．

解答 解：如图所示，建立直角坐标系．
可得A（0，0），B（4，0），D（1，$\sqrt{3}$），C（5，$\sqrt{3}$）．
∵$\overrightarrow{DM}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{DC}$，
∴M（2，$\sqrt{3}$）．
设N（x，y），x∈[0，5]，y∈[0，$\sqrt{3}$）．
则$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=2x+$\sqrt{3}$y，
令2x+$\sqrt{3}$y=z，可得y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{\sqrt{3}}$z．
画出$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤5}\\{0≤y≤\sqrt{3}}\end{array}\right.$的可行域，
则目标函数y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{\sqrt{3}}$z过点A（5，$\sqrt{3}$）时，z最大，最大为10+3=13，
当过点O（0，0）时，z最小，最小为0，
故$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$的取值范围是[0，13]

点评 本题考查了向量数量积运算、线性规划的有关知识，考查了数形结合的思想方法，属于中档题．