Question

12．已知函数f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²，设l为曲线y=f（x）在点P（x₀，f（x₀））处的切线，其中x₀∈[-1，1]．
（1）求直线l的方程（用x₀表示）
（2）求直线l在y轴上的截距的取值范围；
（3）设直线y=a分别与曲线y=f（x）（x∈[0，+∞））和射线y=x-1（x∈[0，+∞））交于M，N两点，求|MN|的最小值及此时a的值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率，求出切点，运用点斜式方程可得所求切线的方程；
（2）由直线l的方程，可令x=0，求出y，再求导数，判断导数符号小于等于0，可得函数y的单调性，即可得到所求最值，进而得到l在y轴上截距的范围；
（3）设a=e^x-$\frac{1}{2}$x²的解为x₁，a=x-1的解为x₂，可得x₂=1+e^x₁-$\frac{1}{2}$x₁²，求得|MN|=|x₂-x₁|=|1+e^x₁-$\frac{1}{2}$x₁²-x₁|，x₁≥0，
设y=1+e^x-$\frac{1}{2}$x²-x，二次求出导数，即可判断函数y的单调性，即可得到所求最小值及a的值．

解答 解：（1）函数f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²的导数为f′（x）=e^x-x，
可得切线的斜率为k=e^x₀-x₀，切点为（x₀，e^x₀-$\frac{1}{2}$x₀²），
切线l的方程为y-e^x₀+$\frac{1}{2}$x₀²=（e^x₀-x₀）（x-x₀），
即为（e^x₀-x₀）x-y+e^x₀（1-x₀）+$\frac{1}{2}$x₀²=0；
（2）由直线l：（e^x₀-x₀）x-y+e^x₀（1-x₀）+$\frac{1}{2}$x₀²=0，
令x=0，可得y=e^x₀（1-x₀）+$\frac{1}{2}$x₀²，x₀∈[-1，1]．
则y′=e^x₀（-x₀）+x₀=x₀（1-e^x₀），
当x₀=0时，1-e^x₀=0，则x₀（1-e^x₀）=0；
当x₀＞0时，1-e^x₀＜0，则x₀（1-e^x₀）＜0；
当x₀＜0时，1-e^x₀＞0，则x₀（1-e^x₀）＜0；
综上可得x₀（1-e^x₀）≤0恒成立．
则y=e^x₀（1-x₀）+$\frac{1}{2}$x₀²，在x₀∈[-1，1]上递减，
可得y的最大值为$\frac{2}{e}$+$\frac{1}{2}$，最小值为$\frac{1}{2}$．
则直线l在y轴上的截距的取值范围是[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{e}$+$\frac{1}{2}$]；
（3）设a=e^x-$\frac{1}{2}$x²的解为x₁，a=x-1的解为x₂，
可得x₂=1+e^x₁-$\frac{1}{2}$x₁²，
|MN|=|x₂-x₁|=|1+e^x₁-$\frac{1}{2}$x₁²-x₁|，x₁≥0，
设y=1+e^x-$\frac{1}{2}$x²-x，
则y′=e^x-x-1，y′′=e^x-1，
可得e^x-1≥0，则y′在[0，+∞）递增，即有1+e^x-$\frac{1}{2}$x²-x[0，+∞）递增，
可得1+e^x-$\frac{1}{2}$x²-x≥1+1-0=2，
则|MN|的最小值为2，此时a=1．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查方程思想和分类讨论的思想方法，以及构造函数法，考查运算能力，属于中档题．