【题目】已知等差数列满足
,前8项和
.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足
.
① 证明:为等比数列;
② 求集合.
【答案】(1)(2)①见解析,②
【解析】
(1)设等差数列{an}的公差为d.根据a4=4,前8项和S8=36.可得数列{an}的通项公式;
(2)①设数列{bn}前n项的和为Bn.根据bn=Bn﹣Bn﹣1,数列{bn}满足.建立关系即可求解;
②由,得
,即
.记
,由①得,
,
由,得cm=3cp>cp,所以m<p;设t=p﹣m(m,p,t∈N*),由
,得
.讨论整数成立情况即可;
(1)设等差数列的公差为d.
因为等差数列满足
,前8项和
,
所以,解得
所以数列的通项公式为
.
(2)①设数列前
项的和为
.
得
由③-④得
3
-
=
-
.
所以
,
又,所以
,满足上式.
所以
当时,
由⑤-⑥得,.
,
所以,
,
所以数列是首项为1,公比为2的等比数列.
②由,得
,即
.
记,由①得,
,
所以,所以
(当且仅当
时等号成立).
由,得
,
所以.
设
,由
,得
.
当时,
,不合题意;
当时,
,此时
符合题意;
当时,
,不合题意;
当时,
,不合题意.
下面证明当时,
.
不妨设
,
,
所以在
上单调增函数,
所以,
所以当时,
,不合题意.
综上,所求集合
.
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【题目】如图,在正方体ABCD-ABCD中,平面垂直于对角线AC,且平面
截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为S,周长为l,则( )
A. S为定值,l不为定值 B. S不为定值,l为定值
C. S与l均为定值 D. S与l均不为定值
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【题目】天干地支,简称为干支,源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干,“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成,以此往复,60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份,则这2个年份的天干或地支相同的概率为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】对某种书籍每册的成本费(元)与印刷册数
(千册)的数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
4.83 | 4.22 | 0.3775 | 60.17 | 0.60 | -39.38 | 4.8 |
其中,
.
为了预测印刷千册时每册的成本费,建立了两个回归模型:
,
.
(1)根据散点图,你认为选择哪个模型预测更可靠?(只选出模型即可)
(2)根据所给数据和(1)中的模型选择,求关于
的回归方程,并预测印刷
千册时每册的成本费.
附:对于一组数据,
,…,
,其回归方程
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,
.
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【题目】阅读下面一道题目的证明,指出其中的一处错误。题目:平面上有六个点,任何三点都是三边互不相等三角形的顶点,则这些三角形中有一个的最短边又是另一个三角形的最长边。证明:第一步,对已知的六个点作两两连线,可以得出15条边,记为,
,…,
.第二步,由于任何三点组成的都是“三边互不相等的三角形”,因此,15条边互不相等不妨设
.第三步,由于“任何三点都是三边互不相等三角形的顶点”,因此,任取三条边都可以组成三角形,则
、
、
组成的三角形的最长边
,也是
、
、
组成的三角形的最短边,命题得证.这三步中,第______步有错误,理由是______.
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【题目】给出下列五个命题:
①若为真命题,则
为真命题;
②命题“,有
”的否定为“
,有
”;
③“平面向量与
的夹角为钝角”的充分不必要条件是“
”;
④在锐角三角形中,必有
;
⑤为等差数列,若
,则
其中正确命题的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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