【题目】如图所示，正方体
的棱长为1，线段
上有两个动点
，
，且
，则下列结论中错误的是____________．
①
；
②
平面
；
③三棱锥
的体积为定值；
④异面直线
，
所成的角为定值．
【答案】④
【解析】
①根据正方体的几何特征，易证
平面
. ②根据
，利用线面平行的判定定理判断.③根据体积公式，判断
是否为定值，再根据平面，判断点A到平面的距离是否为定值.④取特殊位置，当E为
的中点，F与
重合时和当F为的中点，E与
重合时角是否相等判断.
在正方体中，
平面ABCD，所以AC，又因为
，
，所以平面，所以
，故正确.
②因为
平面
；
平面，所以
平面，所以
平面，故正确.
③因为
是定值，因为平面，点A到平面的距离为
是定值，故三棱锥
的体积为定值，故正确.
④当E为的中点，F与重合时，
，
异面直线
，
所成的角
，当F为的中点，E与重合时，
，
异面直线，所成的角
，所以
，故异面直线，所成的角不是定值，故④错误.
故答案为：④
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【题目】三棱锥
中，点P是
斜边AB上一点．给出下列四个命题：
①若
平面ABC，则三棱锥的四个面都是直角三角形；
②若S在平面ABC上的射影是斜边AB的中点P，则有
；
③若
，
，
，
平面ABC，则
面积的最小值为3；
④若
，
，，平面ABC，则三棱锥的外接球体积为
．
其中正确命题的序号是__________．(把你认为正确命题的序号都填上)
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【题目】要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各
节，自习课
节的功课表，其中上午
节，下午节，若要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（ ）
A.
B.
C.
D.
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【题目】在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程是
（
为参数），曲线
的直角坐标方程为
，将曲线上的点向下平移1个单位，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线
．
（1）求曲线和曲线的直角坐标方程；
（2）若曲线和曲线相交于
两点，求三角形
的面积．
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【题目】给定数列
，若满足
（
且
），对于任意的
，都有
，则称数列为“指数型数列”．
（1）已知数列的通项公式为
，试判断数列是不是“指数型数列”；
（2）已知数列满足
，
，证明数列
为等比数列，并判断数列是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
（3）若数列是“指数型数列”，且
，证明数列中任意三项都不能构成等差数列．
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【题目】椭圆
的长轴是短轴的两倍，点
在椭圆上.不过原点的直线
与椭圆相交于
、
两点，设直线
、、
的斜率分别为
、
、
，且、、恰好构成等比数列，
（1）求椭圆
的方程；
（2）试判断
是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？
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【题目】将所有平面向量组成的集合记作
，
是从到的对应关系，记作
或
，其中
、
、
、
都是实数，定义对应关系的模为：在
的条件下
的最大值记作
，若存在非零向量
，及实数
使得
，则称为的一个特殊值；
（1）若
，求；
（2）如果
，计算的特征值，并求相应的
；
（3）若
，要使有唯一的特征值，实数
、
、
、
应满足什么条件？试找出一个对应关系，同时满足以下两个条件：①有唯一的特征值，②
，并验证满足这两个条件.
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【题目】已知椭圆C：
（
）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线
上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.
（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
（ii）当
最小时，求点T的坐标.
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