Question

【题目】三棱锥中，点P是斜边AB上一点．给出下列四个命题：

①若平面ABC，则三棱锥的四个面都是直角三角形；

②若S在平面ABC上的射影是斜边AB的中点P，则有；

③若，，，平面ABC，则面积的最小值为3；

④若，，，平面ABC，则三棱锥的外接球体积为．

其中正确命题的序号是__________．(把你认为正确命题的序号都填上)

Answer 1

【答案】①②④.

【解析】

由平面，所以，，从而得到四个面都是直角三角形; 连接,当平面时，得到，从而得到；当平面时，. 时，取得最小值，由此求出的最小值是;

三棱锥的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球,，，即可求出体积.

对于①，因为平面，所以，，，又，∴平面，所以，故四个面都是直角三角形，∴①正确；

对于②，由在平面上的射影是斜边的中点，可得平面，连接，有，，，因为P是斜边AB的中点，所以，故，∴②正确；

对于③，当平面时，.当时，取得最小值，由等面积可得此时长度为，所以的最小值是；∴③不正确；

对于④，若，平面，∴三棱锥的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球，∴，，∴体积为，

④正确，故答案为①②④．