Question

【题目】已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率，以椭圆的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若经过点的直线交椭圆于两点，是否存在直线 ，使得到直线的距离满足恒成立，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析.

【解析】分析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，由题意可得，，.则椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）若直线的斜率不存在,则直线为任意直线都满足要求；当直线的斜率存在时，设其方程为：，与椭圆方程联立有，结合韦达定理可得.则存在直线，使得到直线的距离满足恒成立.

详解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，

∵，∴，又∵，

∴，由，

解得，，.

所以椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）若直线的斜率不存在,则直线为任意直线都满足要求；

当直线的斜率存在时，设其方程为：，

设，（不妨令），

则，，

，，

∵，∴ ，解得.

由得，

，，.

综上可知存在直线，使得到直线的距离满足恒成立.