Question

【题目】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），曲线的直角坐标方程为，将曲线上的点向下平移1个单位，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线．

（1）求曲线和曲线的直角坐标方程；

（2）若曲线和曲线相交于两点，求三角形的面积．

Answer 1

【答案】（1）：，：；（2）

【解析】

（1）将曲线的参数方程参数消掉，得出其直角坐标方程，由平移变换和伸缩变换得出曲线的直角坐标方程；

（2）将曲线的参数方程化成标准参数方程，并代入曲线方程，由参数的几何意义以及点到直线的距离公式，即可得出三角形的面积．

（1）由可知，曲线的直角坐标方程为，即

将曲线上的点向下平移1个单位，可得

由伸缩变换，得，则，即

即曲线的直角坐标方程为．

（2）将曲线的参数方程化成标准参数方程为（为参数），

带入曲线，有，设对应的参数分别为，则，，

所以

因为点到曲线的距离为

所以三角形的而积等于．