Question

【题目】已知函数（且）．

（1）讨论函数的单调性；

（2），关于的方程有唯一解，求的值．

Answer 1

【答案】（1）当为奇数时，函数在为增函数，当为偶数时，函数在为减函数，在为增函数

（2）

【解析】

（1）利用导数判断函数的单调性即可；

（2）利用，将方程化简，得到函数，将方程问题转化为函数零点问题，再结合导数研究即可得解.

解：（1）因为函数，

所以，（且），

所以，（且），

当为奇数时，，即函数在为增函数，

当为偶数时，，

所以当时，，当时，，

即函数在为减函数，在为增函数；

（2）当，，

设，

则关于的方程有唯一解等价于函数只有1个零点，

又，

令，

则，即，①

当时，，当时，，

即函数在为减函数，在为增函数，

则，

由题意有，即，②

②①得：，

设，则函数为增函数，且，

即，

故.