Question

【题目】已知圆C的方程为：（x－3）2＋（y－2）2＝r2（r>0），若直线3x＋y＝3上存在一点P，在圆C上总存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，则圆C的半径r的取值范围是________．

Answer 1

【答案】.

【解析】

通过已知条件，求出点P的轨迹方程，而点P又在直线3x＋y＝3上，问题转化为直线与圆有公共点，即可求出r的取值范围．

如图，连结PC，依次交圆于E，F两点，连结MF，EN，

因为∠PNE和∠PFM都是弧的圆周角，由圆周角定理可得∠PNE＝∠PFM，又∠NPE＝∠FPM，所以△PNE∽△PFM，所以，即，

而，

所以有，因为M是线段PN的中点，所以，

又因为M，N是圆上的任意两点，则有0<≤2r，即0<≤8r2.

设动点P（x，y），圆心C坐标为（3，2），则有0<（x－3）2＋（y－2）2－r2≤8r2，即r2<（x－3）2＋（y－2）2≤9r2，在一个圆环内，又因为P在直线3x＋y＝3上，所以直线3x＋y＝3与圆环有公共点，即直线与圆（x－3）2＋（y－2）2＝9r2有公共点，

则有，解得，所以圆C的半径r的取值范围是.

故答案为：