Question

【题目】已知斜三棱柱的侧面与底垂直，侧棱与底面所成的角为，，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）若为棱上的点，且三棱锥的体积为，求的值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）由面面垂直的性质定理得与平面垂直，从而有，因此可证明与平面垂直，于是得证面面垂直；

（2）由（1）中垂直关系得和都是直角三角形，找到与底面所成的角后可计算出图中线段长，从而求得面积，由的体积计算出到平面的距离，注意（1）中线面垂直，由得是中点．从而得比值．

（1）证明：∵面面，面面，

∴平面，∴，

又∵，，∴平面，

又∵平面，∴平面平面，

（2）由（1）可知，平面，平面，，

∴平面，

又∵平面平面，平面平面，

所以在底面上的射影落在上，

所以就是侧棱与底面所成的角，且，

∵，∴，，，则，

设点到平面的距离等于，

则，∴，

所以，所以点是棱的中点，从而为所求.．