Question

9．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是两个不共线的向量．且$\overrightarrow{a}$=（cosa，sina）.$\overrightarrow{b}$=（cosβ，sinβ）．
（1）求证：$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$垂直；
（2）若α∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$），β=$\frac{π}{4}$．且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{3}{5}$．求sinα的值．

Answer 1

分析 （1）求出|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，再由向量的数量积的性质，向量垂直的条件即可得证；
（2）运用向量的数量积的坐标表示和两角和差公式，以及sinα=sin[（α-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]，计算即可得到所求值．

解答 （1）证明：由$\overrightarrow{a}$=（cosa，sina）.$\overrightarrow{b}$=（cosβ，sinβ），
可得|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，
则（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{b}$²=1-1=0，
即有$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$垂直；
（2）解：$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）=$\frac{3}{5}$，
α∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$），β=$\frac{π}{4}$，可得α-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{2}$，0），
即有cos（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，
sin（α-$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{1-\frac{9}{25}}$=-$\frac{4}{5}$，
则有sinα=sin[（α-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=sin（α-$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$+cos（α-$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$
=（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，同时考查三角函数的恒等变换，以及角的变换思想，属于中档题．