Question

【题目】已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的离心率是 ，过E的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆交于A，B两点，|AB|=2．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过点P（0， ）的动直线l与椭圆E交于的两点M，N（不是的椭圆顶点），是否存在实数λ，使 +λ 为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e= = = ，则a2=2b2 ， ①
则丨AB丨= =2，则b2=a，②
解得：a=2，b= ，
∴椭圆的标准方程为： ；
（Ⅱ）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+ ，M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），
联立 ，得（1+2k2）x2+4 kx+2=0，△=（4 k）2﹣4×（1+2k2）×2＞0，解得：k2＞ ，
由韦达定理可知：x1+x2=﹣ ，x1x2= ，从而， +λ =x1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1﹣ ）（y2﹣ ）]，
=（1+λ）（1+k2）x1x2+ k（x1+x2）+3，
=（1+λ）（1+k2）× + k×（﹣ ）+3，
= ，
=﹣（1﹣λ）+ ，
∴当λ=﹣2时，﹣（1﹣λ）+ =﹣3，此时 +λ =﹣3，
故存在常数λ=﹣2，使得 +λ 为定值﹣3．
【解析】（Ⅰ）由题意的离心率求得a2=2b2 ， 椭圆的通径丨AB丨= =2，即可求得a和b的值，求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线l的方程，y=kx+ ，代入椭圆方程，利用韦达定理定理及向量数量积的坐标运算，表示出 +λ =﹣（1﹣λ）+ ，则当λ=﹣2时，﹣（1﹣λ）+ =﹣3，则存在实数λ，使 +λ 为定值
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．