Question

数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和S_n满足S_n²=a_n（S_n-1）．
（1）求证：数列{

1

Sn

}是等差数列；
（2）设b_n=log₂

Sn

Sn+2

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求满足T_n≥6的最小正整数n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a_n=S_n-S_n-1代入题设递推式整理求得

1

Sn

-

1

Sn-1

=1，进而利用等差数列的定义推断出数列{

1

Sn

}是等差数列
（Ⅱ）依据（Ⅰ）可求得数列{

1

Sn

}的通项公式，代入b_n中求得其表达式，进而利用对数运算的法则求得T_n，根据T_n≥6利用对数函数的单调性求得n的范围，进而求得最小正整数n．

解答：解（Ⅰ）∵S_n²=a_n（S_n-1）∴S_n²=（S_n-S_n-1）（S_n-1）（n≥2）
∴S_nS_n-1=S_n-1-S_n，即

1

Sn

-

1

Sn-1

=1，
∴{

1

Sn

}是1为首项，1为公差的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知Sn=

1

n

，∴bn=log2

n+2

n

，
∴Tn=log2(

3

1

×

4

2

×

5

3

×

6

4

×…×

n+2

n

)=log2

(n+1)(n+2)

2

≥6，
∴（n+2）（n+1）≥128∵n∈N+_ 
∴n≥10，
所以满足T_n≥6的最小正整数为10．

点评：本题主要考查了数列的递推式，等差关系的确定，数列的通项公式和求和公式．