Question

如图，梯形BCDE中，DE∥BC，CD⊥DE，ED=DC=

2

，AB=BC=2

2

，AB⊥面BCDE，F为AB中点．
求证：
（Ⅰ）EF∥面ACD；
（Ⅱ）CE⊥面ABE；
（Ⅲ）求三棱锥D-AEC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取AC中点G，连接FG，DG，证明四边形FGDE是平行四边形，可得FE∥GD，即可证明EF∥面ACD；
（Ⅱ）取BC中点K，连接EK，证明CE⊥BE，AB⊥CE，即可证明CE⊥面ABE；
（Ⅲ）利用V_D-AEC=V_A-DEC，求三棱锥D-AEC的体积．

解答： （Ⅰ）证明：取AC中点G，连接FG，DG，则FG∥BC，FG=

1

2

BC，
∵DE∥BC，DE=

1

2

BC，
∴DE∥GF，DE-GF，
∴四边形FGDE是平行四边形，
∴FE∥GD，
∵FE?面ACD，GD?面ACD，
∴EF∥面ACD；
（Ⅱ）证明：取BC中点K，连接EK，则四边形EDCK是正方形，
∴EK=CD=ED=

2

且CD⊥ED，
∴CE=2．
在Rt△EKB中，KC=BK=EK=

2

，
∴BE=2，
∵BC=2

2

，
∴BE²+CE²=BC²，
∴∠BEC=90°，即CE⊥BE，
∵AB⊥面BCDE，
∴AB⊥CE，
∵AB∩BE=B，
∴CE⊥面ABE；
（Ⅲ）解：V_D-AEC=V_A-DEC=

1

3

S△DCE×AB=

1

3

×

1

2

×

2

×

2

×2

2

=

2 2

3

．

点评：本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，考查三棱锥D-AEC的体积，正确运用线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理是关键．