Question

已知向量

a

=（2cosx，

2

cosx-1），

b

=（

3

sinx，

2

cosx+1），函数f（x）=

a

•

b

，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的

1

2

，把所得到的图象再向左平移

π

6

单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[0，

π

8

]上的最大值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数的周期性及其求法,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式可得函数f（x）=

a

•

b

=2sin(2x+

π

6

)，即可得出函数f（x）的最小正周期T=π，
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，（k∈Z）．解出即可得到函数f（x）的单调递减区间．．
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的

1

2

，把所得到的图象再向左平移

π

6

单位，得到函数y=g（x）=2sin(4x+

5π

6

)的图象．再利用正弦函数的单调性即可得出其最大值．

解答： 解：（1）函数f（x）=

a

•

b

=2

3

sinxcosx+2cos2x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)，
∴函数f（x）的最小正周期T=π，
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

解得kπ+

π

6

≤x≤kα+

2π

3

，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）．
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的

1

2

，把所得到的图象再向左平移

π

6

单位，
得到函数y=g（x）=2sin(4x+

5π

6

)的图象．
∵x∈[0，

π

8

]，∴(4x+

5π

6

)∈[

5π

6

，

4π

3

]，
∴当x=0时，g（x）_max=1．

点评：本题综合考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的图象和性质、三角函数的图象变换等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．