Question

数列{a_n}满足a₁=1，且a_n=a_n-1+n（n＞1，n∈N^*），
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足b_n=

1

an

，求数列{b_n}的前n项的和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得a_n-a_n-1=n，由此利用叠加法能求出an=

n(n+1)

2

．
（2）由bn=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项的和S_n．

解答： 解：（1）∵an=an-1+n(n＞1，n∈N*)，
∴a_n-a_n-1=n，
由叠加得：
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+2+…+n=

n(n+1)

2

(n＞2)，
当n=1时，上式的值为1，满足条件a₁=1，
∴an=

n(n+1)

2

（2）∵数列{b_n}满足b_n=

1

an

，
∴bn=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，
∴Sn=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

2n

n+1

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．