Question

平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

x=2- 3 t y=t

（t为参数），圆C的方程为x²+y²=4．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求直线l和圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）求直线l和圆C的交点的极坐标（要求极角θ∈[0，2π））

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）把直线l的参数方程消去参数，化为直角坐标方程，再把x=ρcosθ、y=ρsinθ代入化简可得直线的极坐标方程；再把圆C的直角坐标方程化为极坐标方程．
（Ⅱ）把直线和曲线的极坐标方程联立方程组，求得cos（θ-

π

3

）=

1

2

，结合θ∈[0，2π），可得θ的值，从而求得l和圆C的交点的极坐标．

解答： 解：（Ⅰ）把直线l的参数方程为

x=2- 3 t y=t

（t为参数），消去参数，化为直角坐标方程为x+

3

y-2=0，
把x=ρcosθ、y=ρsinθ代入化简可得 ρcosθ+

3

ρsinθ-2=0，即ρcos（θ-

π

3

）=1．
圆C的方程为x²+y²=4化为极坐标方程为ρ²=4，即 ρ=2．
 （Ⅱ）由

ρcos(θ- π 3 )=1 ρ=2

，求得cos（θ-

π

3

）=

1

2

．
结合θ∈[0，2π）可得θ-

π

3

=-

π

3

，或 θ-

π

3

=

π

3

，∴θ=0，或θ=

2π

3

．
∴直线l和圆C的图象的交点的极坐标为（2，0）、（2，

2π

3

）．

点评：本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程的方法，极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于基础题．