Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-（m+1）x+mlnx，m＞0．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设点A（x₀，f（x₀））（x₀＞1）为f（x）的图象上任意一点，若曲线y=f（x）在点A处的切线的斜率恒大于-1，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数的导数，根据导数的几何意义，解不等式即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ） 依题意，f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=x-(m+1)+

m

x

=

x2-(m+1)x+m

x

=

(x-m)(x-1)

x

，
令f'（x）=0得x=m或x=1．
①当0＜m＜1时，f（x）在（0，m）递增，（m，1）递减，（1，+∞）递增；
②当m=1时，f'（x）≥0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）递增；
③当m＞1时，f（x）在（0，1）递增，（1，m）递减，（m，+∞）递增；
（Ⅱ）因为函数f（x）在点A（x₀，f（x₀））处的切线的斜率大于-1，
所以当x₀∈（1，+∞）时，f′(x)=x0-(m+1)+

m

x0

＞-1恒成立，
即当x₀∈（1，+∞）时，x02-mx0+m＞0恒成立．
因x02-mx0+m＞0⇒x02＞m(x0-1)，
当x₀＞1时x02＞m(x0-1)等价于m＜

x02

x0-1

．
设g(x0)=

x02

x0-1

=

(x0-1)2+2(x0-1)+1

x0-1

=(x0-1)+

1

x0-1

+2≥4（x₀=2时取等号）
则在（1，+∞）上，当0＜m＜4时，
在函数f（x）的图象上任意一点A处的切线的斜率恒大于-1．
注：构造二次函数，比较

m

2

与1的大小也可得0＜m＜4．

点评：本题主要考查函数的单调区间的求解，以及导数的几何意义，考查导数的基本运算．