Question

若实数x，y满足log₂[4cos²（xy）+

1

4cos2(xy)

]=lny-

y

2

+ln

e2

2

，则ycos4x的值为

 

．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：由4cos²（xy）+

1

4cos2(xy)

≥2，得log₂[4cos²（xy）+

1

4cos2(xy)

≥1，令y=2，得lny-

y

2

+ln

e2

2

=1，由此推导出cos4x=-

1

2

，从而能求出ycos4x的值．

解答： 解：∵4cos²（xy）+

1

4cos2(xy)

≥2，
∴log₂[4cos²（xy）+

1

4cos2(xy)

]≥1，
当且仅当4cos²（xy）=

1

4cos2(xy)

，
即4cos²（xy）=1时等号成立．
令y=2，得lny-

y

2

+ln

e2

2

=1，
∴4cos²（2x）=1，cos4x=-

1

2

，
∴ycos4x=-1．
故答案为：-1．

点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意均值不等式的合理运用．